從最近幾年行測考情來看，極值問題是數(shù)量關(guān)系中的?？碱}型，特別是一元二次函數(shù)求極值的問題考查頻次較高。今天MVP學習網(wǎng)帶大家來了解一下一元二次函數(shù)求極值問題。
一元二次函數(shù)求極值問題，實際上就是根據(jù)題干所給的信息條件，可以將所求問題表示成關(guān)于某個未知量的一元二次函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式的特點確定在何時取極值的過程。
1.利用圖像特點：
一元二次函數(shù)的一般式為由圖像可知a>0時，開口向上，在對稱軸處y取最小值;a<0時，開口向下，在對稱軸處y取最大值。如下圖：
若函數(shù)是y=(ax+m)(bx+n)，的形式，這可以令y=0，求此時得x的兩個取值x1和x2，則函數(shù)y的對稱軸為在對稱軸處，函數(shù)y取最大值或最小值。
2.若函數(shù)可以寫成y=k(x-p)(q-x)，的形式，也可以考慮利用均值不等式相關(guān)結(jié)論來求最值。因為(x-p)與(q-x)的和為定值，根據(jù)和一定，乘積有最大值的結(jié)論，當且僅當(x-p)=(q-x)時，(x-p)×(q-x)有最大值，再結(jié)合k的符號，即可確定此時y的最值。
某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件。已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現(xiàn)該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應(yīng)降低的金額是：
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【答案】C。核心解析：由利潤公式可知，總利潤=(銷售單價-進貨單價)×銷售量，但銷售單價和銷售量均和降價的多少有關(guān)，不妨設(shè)銷售單價應(yīng)降低x元，則每天可多售出20x件，銷售的總利潤為y，此時y=(100-x-80)×(120+20x)。由此發(fā)現(xiàn)，此題為一元二次函數(shù)求極值問題。
方法一：由上式，括號打開化簡后可得：總利潤y=-20x2+280x+2400。此時，a=-20<0，故y的圖像為開口向下，且在對稱軸處有最大值，y最大，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
方法二：由上式，化簡后可得：由上總利潤y=(20-x)×(120+20x)，令y=0，可得x=20或者x=-6，則函數(shù)y的對稱軸為結(jié)合開口方向，此時y取最大值，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
方法三：由上式，化簡后可得：由上總利潤y=20(20-x)×(6+x)，此時(20-x)+(x+6)=14，二者和為定值，由均值不等式結(jié)論，故當且僅當(20-x)=(x+6)時，(20-x)×(x+6)有最大值，即y有最大值，此時x=7，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
綜上，答案選擇C項。
北京冬奧會期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品十分暢銷。銷售期間某商家發(fā)現(xiàn)，進價為每個40元的“冰墩墩”，當售價定為44元時，每天可售出300個，售價每上漲1元，每天銷量減少10個?，F(xiàn)商家決定提價銷售，若要使銷售利潤達到最大，則售價應(yīng)為：
A.51元 B.52元 C.54元 D.57元
【答案】D。核心解析：由利潤公式可知，銷售利潤=(售價-進價)×銷量，而售價和銷量均和漲價多少有關(guān)，故可設(shè)漲價x元，銷量則會減少10x個，設(shè)銷售利潤為y，則y=(44+x-40)×(300-10x)。由此發(fā)現(xiàn)，此題為一元二次函數(shù)求極值問題。
方法一：由上式，括號打開化簡后可得：銷售利潤y=-10x2+260x+1200。此時，a=-10<0，故y的圖像為開口向下，在對稱軸處有最大值，y最大，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
方法二：由上式，化簡后可得：y=(4+x)×(300-10x)。令y=0，可得x=-4或者x=30，則函數(shù)y的對稱軸為結(jié)合開口方向，此時y取最大值，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
方法三：由上式，化簡后可得：由上y=10(x+4)×(30-x)。此時(x+4)+(30-x)=34，二者和為定值，由均值不等式結(jié)論，故當且僅當(x+4)=(30-x)時，(x+4)×(30-x)有最大值，即y有最大值，此時x=13，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
綜上，答案選擇D項。
通過以上兩道例題我們可以看出，一元二次函數(shù)求極值的關(guān)鍵在于：1.快速得到所求與未知量之間的函數(shù)解析式;2.根據(jù)函數(shù)解析式的形式或者思維習慣選擇適當?shù)姆椒ù_定函數(shù)在何處取極值。希望大家通過學習該方法，能夠在平時練習時，有效解決此類問題。
