容斥問題是近年來行測考試的熱門內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)運(yùn)算中占據(jù)較為重要的位置。容斥問題主要研究的是集合間的交叉關(guān)系，而考試中容斥問題的考查形式相對固定，難度較小，是數(shù)量關(guān)系中較為容易拿分的考點(diǎn)。今天MVP學(xué)習(xí)網(wǎng)就帶領(lǐng)大家一起梳理一下兩者容斥問題的相關(guān)知識。
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【兩者容斥】
如果題目中涉及兩個集合間交叉關(guān)系，需要結(jié)合集合之間的關(guān)系進(jìn)行解題，即為兩者容斥問題。
計算時，先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。
解題方法
1.公式法：
I=A+B-A∩B+M(M表示非A且非B的部分)
2.文氏圖：
【例1】有70名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文考試，數(shù)學(xué)考試得60分以上的有56人，語文考試得60分以上的有62人，都不及格的有4人，則兩門考試都得60分以上的有多少人?
A.50 B.51 C.52 D.53
【題目分析】題目中涉及兩個集合“數(shù)學(xué)考試得60分以上的人”和“語文考試得60分以上的人”，由“數(shù)學(xué)考試得60分以上的人+語文考試得60分以上的人”>學(xué)生總數(shù)，可知這兩個集合之間存在交叉關(guān)系，因此可以判定此題為兩者容斥問題。題目中給出的信息均為兩者容斥公式中的量，將已知信息代入公式，即可求解出答案。
【核心解析】將參加考試的70位觀眾記作全集I，數(shù)學(xué)考試得60分以上的人所在集合記作集合A，語文考試得60分以上的人所在集合記作集合B，都不及格的人記作集合M，所求為兩門考試都得60分以上的人數(shù)，即求A∩B。
將已知信息代入兩者容斥公式I=A+B-A∩B+M，得到70=56+62-A∩B+4，解得A∩B=52。
故本題選C。
【例2】某班期末考試結(jié)束后統(tǒng)計，物理、化學(xué)均不及格的人數(shù)占全班的14%，物理及格的人數(shù)比化學(xué)及格的人數(shù)多10人，且化學(xué)及格的人數(shù)占全班的60%。已知全班人數(shù)不超過70人，問：物理及格的人中化學(xué)也及格的有多少人?
A.25 B.26 C.27 D.28
【題目分析】人數(shù)一定為整數(shù)，已知物理、化學(xué)均不及格的人數(shù)占全班的比例關(guān)系，根據(jù)整除性質(zhì)，可知全班人數(shù)的整除特性，然后結(jié)合全班人數(shù)不超過70人，可確定全班人數(shù)。根據(jù)問題可知存在交集，即可判定此題為兩者容斥問題，利用兩者容斥公式進(jìn)行求解。
【核心解析】物理、化學(xué)均不及格的人數(shù)占全班的，則全班人數(shù)為50的倍數(shù)，又因全班人數(shù)不超過70人，所以全班一共有50人(I)，物理、化學(xué)均不及格的有7人(M)，化學(xué)及格的有50×60%=30人(A)，物理及格的有30+10=40人(B)，所求為物理及格的人中化學(xué)也及格的有多少人，即A∩B。
將已知信息代入兩者容斥公式I=A+B-A∩B+M，得到50=30+40-A∩B+7，解得A∩B=27。
故本題選C。
以上就是本次兩者容斥問題的講解，當(dāng)然，容斥問題可以出題的知識點(diǎn)還有很多，比如三者容斥、容斥極值，也可與其他類型的題目結(jié)合出題，想要徹底掌握容斥問題的全部知識還需要各位同學(xué)不斷探究。歡迎大家登錄MVP學(xué)習(xí)網(wǎng)官方網(wǎng)站或下載MVP學(xué)習(xí)網(wǎng)APP學(xué)習(xí)更多有趣的公考知識，MVP學(xué)習(xí)網(wǎng)祝愿大家2024旗開得勝!
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